Линейчатые поверхности

Определение и параметрическое представление

Линейчатая поверхность, образованная двумя кривыми Безье как направляющими (красный, зеленый)

Двумерный называется линейчатая поверхность, если это однопараметрического семейства линий. Линии этого семейства являются генераторы линейчатой ​​поверхности.

Линейчатая поверхность может быть описана параметрическое представление формы

(CR) Икс(ты,v)=c(ты)+vр(ты) , v∈р ,{ displaystyle quad mathbf {x} (u, v) = { color {красный} mathbf {c} (u)} + v ; { color {blue} mathbf {r} (u)} , v in mathbb {R} ,}.

Любая кривая v↦Икс(ты,v){ Displaystyle ; v mapsto mathbf {x} (u_ {0}, v) ;} с фиксированным параметром ты=ты{ displaystyle u = u_ {0}} образующая (линия) и кривая ты↦c(ты){ Displaystyle ; и mapsto mathbf {c} (и) ;} это директриса представительства. Векторы р(ты)≠{ Displaystyle ; mathbf {r} (и) neq { bf {0 ;}}} Опишите направления генераторов.

Директриса может свернуться в точку (в случае конуса см. Пример ниже).

В качестве альтернативы линейчатая поверхность (CR) можно описать

(CD) Икс(ты,v)=(1−v)c(ты)+vd(ты) { displaystyle quad mathbf {x} (u, v) = (1-v) ; { color {красный} mathbf {c} (u)} + v ; { color {зеленый} mathbf {d} (u)} }

со второй директрисой d(ты)=c(ты)+р(ты){ Displaystyle ; mathbf {d} (u) = mathbf {c} (u) + mathbf {r} (u) ;}.

Как вариант, можно начать с двух непересекающихся кривых. c(ты),d(ты){ Displaystyle mathbf {с} (и), mathbf {d} (и)} в качестве директрис и обойтись (CD) линейчатая поверхность с направлением линий р(ты)=d(ты)−c(ты) .{ Displaystyle ; mathbf {r} (u) = mathbf {d} (u) – mathbf {c} (u) .}

Для создания линейчатой ​​поверхности двумя направляющими (или одной направляющей и векторами направлений линий) важна не только геометрическая форма этих кривых, но и их специальные параметрические представления влияют на форму линейчатой ​​поверхности (см. Примеры ), г)).

Для представления теоретических исследований (CR) более выгодно, потому что параметр v{ displaystyle v} появляется только один раз.

Научная электронная библиотека

Пиралова О. Ф., Ведякин Ф. Ф.,

7.2. Линейчатые поверхности

Как уже отмечалось, поверхность называется линейчатой, если она может быть образована перемещением прямой линии. Поверхность, которая не может быть образована движением прямой линии, называется нелинейчатой. Например, конус вращения − линейчатая поверхность, а сфера − нелинейчатая. Через любую точку линейчатой поверхности можно провести, по крайней мере, одну прямую, целиком принадлежащую поверхности. Множество таких прямых представляет собой непрерывный каркас линейчатой поверхности. Линейчатые поверхности разделяются на два вида:

1) развертывающиеся поверхности;

2) неразвертывающиеся, или косые поверхности.

других линейчатых поверхностей.

Примечание. Все нелинейчатые поверхности являются неразвертывающимися. Рассмотрим несколько наиболее характерных разновидностей тех и

Линейчатые поверхности с одной криволинейной направляющей называются торсами, а криволинейная направляющая таких поверхностей − ребром возврата.

Поверхностью с ребром возврата (торсом) называют поверхность, описываемую движением прямой − образующей, касающейся некоторой пространственной кривой − направляющей. Торсы являются поверхностями развертывающимися.

Поверхность называется развертывающейся, если она путем изгибания может быть совмещена с плоскостью без образования складок и разрывов.

Рис. 7.9. Поверхность с ребром возврата Рис. 7.10. Коническая поверхность

Очевидно, что все многогранные поверхности являются развертывающимися.

Из кривых поверхностей этим свойством обладают только те линейчатые поверхности, которые имеют ребро возврата.

Рис. 7.11. Цилиндрическая поверхность

Существует только три вида линейчатых поверхностей, имеющих ребро возврата: торсы, конические и цилиндрические (Рис. 7.9 − 7.11) .

Необходимо отметить, что у всех развертывающихся линейчатых поверхностей две смежные образующие либо пересекаются (торс, коническая поверхность), либо параллельны (цилиндрическая поверхность).

Моделирование поверхностей вращения

Поверхность вращения образуется вращением какой-либо линии (образующей) вокруг неподвижной оси (рис. 42). Как правило, ось вращения располагается перпендикулярно одной из плоскостей проекций.

Если образующая поверхности вращения — прямая линия, то образуется линейчатая поверхность. Если образующая — кривая, поверхность вращения будет относиться к классу нелинейчатых поверхностей.

Репер поверхности вращения включает в себя ось вращения i и образующую линию f. Каждая точка образующей линии вращается по окружности, которая называется параллелью. Плоскость этой параллели перпендикулярна оси вращения, а центр принадлежит оси вращения.

Параллель наибольшего радиуса называется экватором, а параллель наименьшего радиуса — горлом.

Меридиан — линия на поверхности, расположенная в одной плоскости с осью вращения. Главный меридиан — меридиан, плоскость которого параллельна плоскости проекций. Если ось вращения перпендикулярна плоскости то главный меридиан параллелен Если же ось вращения перпендикулярна плоскости то главный меридиан параллелен

Один из очерков поверхности вращения определяется главным меридианом, а второй — экватором или экватором и горлом.

Развертывающиеся поверхности

Эти объекты важны для листопрокатного производства, текстильной промышленности, авиа- и автомобилестроения. Представление о них основывается на допущении, что они обладают гибкостью, но они нерастяжимы и несжимаемы. Под развертывающимися понимают области, которые, изгибая, можно совмещать с плоскостью без порывов, перегибов и складок. Таким образом получается развертка. Это свойство характерно для многогранных объектов и объектов, которые имеют ребра возврата.

Ребро возврата – это направляющая кривая в пространстве, которую касается прямая при передвижении. В системе отсчета развертывающаяся линейчатая поверхность определяется ребром возврата. Указанными характеристиками обладают: торс, а также его частные случаи: объекты, имеющие форму конуса, цилиндра, призмы, пирамиды.

Торс

Торсы используются при проектировании деталей и узлов в машиностроении. Образование линейчатых поверхностей, имеющих вид торса, происходит при передвижении образующей, которая во всех позициях проходит по касательной относительно ребра возврата. Оно, совместно с движущейся прямой, определяет торс в пространстве. Этот геометрический объект составляют две полости, граничащие по ребру возврата.

Цилиндрическая

Это особый вид торса. При этом ребро возврата переродилось в несобственную точку, удаленную на бесконечное расстояние. Построенная прямая образующая движется параллельно самой себе по установленной кривой. Чтобы определить цилиндрическую поверхность надо задаться: вектором перемещения и криволинейной траекторией движения.

Коническая

В ней ребро возврата преобразовалось в собственную точку, через которую, по определенной кривой, проходит образующая. Эта точка служит вершиной конуса. Такой объект может складываться из двух полостей. Для его определения задаются указанными точкой и кривой.

Призматическая и пирамидальная

Призматическая отличается от цилиндрической тем, что движение прямой происходит не по кривой траектории, а по ломанной. Ребро возврата преобразовалось в несобственную точку, которая находится на бесконечном расстоянии.

Пирамидальная и конусная различаются формой траектории движения прямой. У конусной — траектория движения криволинейная, у пирамидальной – ломанная.

У перечисленных видов две смежные прямые могут:

• пересекаться (торс, коническая, пирамидальная);
• быть параллельными (цилиндрическая, призматическая).

Чтобы получить уравнение поверхности развертывающейся надо решить систему двух уравнений:

1. уравнения образующей.
2. уравнения направляющей.

Рассмотренные объекты могут быть замкнутыми, если траектория имеет форму окружности или замкнутого многоугольника.

Касательные плоскости, развертываемые поверхности

Для необходимых здесь выводов всегда предполагается, что они также существуют.

Чтобы вычислить вектор нормали в точке, нужны частные производные представления  : Икс(ты,v)знак равноc(ты)+vр(ты){\ displaystyle \ quad \ mathbf {x} (u, v) = \ mathbf {c} (u) + v \; \ mathbf {r} (u)}

Икстызнак равноc˙(ты)+vр˙(ты) {\ displaystyle \ mathbf {x} _ {u} = \ mathbf {\ dot {c}} (u) + v \; \ mathbf {\ dot {r}} (u) \} ,Иксvзнак равнор(ты){\ displaystyle \ quad \ mathbf {x} _ {v} = \; \ mathbf {r} (u)}

пзнак равноИксты×Икстызнак равноc˙×р+v(р˙×р) .{\ displaystyle \ mathbf {n} = \ mathbf {x} _ {u} \ times \ mathbf {x} _ {u} = \ mathbf {\ dot {c}} \ times \ mathbf {r} + v (\ mathbf {\ dot {r}} \ times \ mathbf {r}) \.}

Поскольку скалярное произведение (позднее произведение с двумя равными векторами всегда равно 0!), В каждой точке есть касательный вектор . Касательные плоскости вдоль этой прямой идентичны, если они кратны . Это возможно только в том случае, если три вектора лежат в одной плоскости, т.е. ЧАС. линейно зависимы. Линейную зависимость трех векторов можно определить с помощью определителя этих векторов: п⋅рзнак равно{\ Displaystyle \ mathbf {п} \ cdot \ mathbf {r} = 0}р(ты){\ Displaystyle \ mathbf {r} (и_ {0})}Икс(ты,v){\ Displaystyle \ mathbf {х} (и_ {0}, v)}р˙×р{\ displaystyle \ mathbf {\ dot {r}} \ times \ mathbf {r}}c˙×р{\ displaystyle \ mathbf {\ dot {c}} \ times \ mathbf {r}}c˙,р˙,р {\ Displaystyle \ mathbf {\ точка {с}} \ ;, \; \ mathbf {\ точка {r}} \ ;, \; \ mathbf {r} \}

Касательные плоскости вдоль прямой совпадают, еслиИкс(ты0,v)знак равноc(ты0)+vр(ты0){\ displaystyle \ mathbf {x} (u_ {0}, v) = \ mathbf {c} (u_ {0}) + v \; \ mathbf {r} (u_ {0})}

Det(c˙(ты),р˙(ты),р(ты))знак равно .{\ displaystyle \ det (\ mathbf {\ dot {c}} (u_ {0}) \ ;, \; \ mathbf {\ dot {r}} (u_ {0}) \ ;, \; \ mathbf {r } (u_ {0})) \; = \; 0 \.}

Генеративная форма, к которой это применимо, называется торсальной .

Линейчатая поверхность точно тогда раскручивается в плоскость, когда для всех точек гауссова кривизна равна нулю. Это так тогда и только тогда, когдаИкс(ты,v)знак равноc(ты)+vр(ты){\ displaystyle \ quad \ mathbf {x} (u, v) = \ mathbf {c} (u) + v \; \ mathbf {r} (u)}

Det(c˙,р˙,р)знак равно{\ displaystyle \ det (\ mathbf {\ dot {c}} \; \; \ mathbf {\ dot {r}} \ ;, \; \ mathbf {r}) \; = \; 0 \ quad}

применяется в каждой точке, d. т. е. если каждый образующий – торсальный. Поэтому развивающуюся область также называют торсом .

Свойства развертывающейся поверхности:

• Генераторы представляют собой семейство асимптотических линий , а также семейство линий кривизны .
• Разворачивающаяся поверхность – это либо (общий) цилиндр, либо (общий) конус, либо касательная поверхность (поверхность, состоящая из касательных пространственной кривой).

Презентация на тему: ” Линейчатые поверхности Образование поверхностей. Линейчатой поверхностью называется поверхность, образованная перемещением прямолинейной образующей по.” — Транскрипт:

1

Линейчатые поверхности Образование поверхностей

2

Линейчатой поверхностью называется поверхность, образованная перемещением прямолинейной образующей по одной или более направляющим

3

Цилиндрическая поверхность m (m; S ) S // Цилиндрическая поверхность образуется движением прямой (образующей) по некоторой кривой m параллельно самой себе или имеющей постоянное направление S

4

i m ( i, m; i ) Коническая поверхность Коническая поверхность – образуется движением прямой линии (о бразующей) по некоторой кривой линии m и имеющей неподвижную точку S S

5

Торсовая поверхность m m – ребро возврата ( m) Торсовая поверхность образуется движением прямой, касающейся во всех своих положениях некоторой пространственной направляющей кривой m, называемой ребром возврата

6

Однополостный гиперболоид

7

Многогранные поверхности – это поверхности, образованные частями (отсеками) пересекающихся плоскостей Многогранником называется тело, ограниченное многогранной поверхностью, состоящей из плоских многоугольников Отсеки плоскостей называются гранями, а линии их пересечения – ребрами Точки пересечения ребер называются вершинами

8

S m S m Пирамидальная поверхность S m Пирамида m – замкнутый контур Если направляющая m ломаная, а все образующие пересекаются в одной точке, такая поверхность называется пирамидальной Поверхность с замкнутой ломаной направляющей (m), общей точкой пересечения образующих ребер и граней называется пирамидой

9

Принадлежность точки поверхности

10

S А1А1 С1С1 В1В1 S2S2 X 1,2 S1S1 А2А2 С2С2 В2В2 Задача Построить недостающую проекцию точки N N2N2 N1N1

11

m S Призматическая поверхность m S Призма Если все образующие поверхности параллельны – поверхность называется призматической Поверхность с замкнутой ломаной направляющей (m) (основанием) и взаимно параллельными ребрами – призма

12

Проецирующая призма А В С С1С1 В1В1 А1А1 k2k2 k1k1 f1f1 g1g1 g2g2 f2f2 X 1,2 Если ребра призмы перпендикулярны основанию, гранник называется проецирующей призмой

13

Поверхности Каталана

14

0 m1m1 n1n1 1 1 n m n1n1 m1m1 2 m2m2 n2n2 Линейчатые поверхности с двумя направляющими (поверхности Каталана) П 2 (m,n,; П 2 ); Цилиндроид

15

Поверхность с плоскостью параллелизма и двумя скрещивающимися направляющими называется гиперболическим параболоидом, или косой плоскостью Гипар

16

m2m2 n2n2 n1n1 m1m1 Задача Построить каркас и очерк гипара, заданного определителем (m, n, П 2 ) I21I2 2I22I2 3I23I2 4I24I2 5I25I2 6I26I2 7I27I2 8I28I I21I2 2I22I2 3I23I2 4I24I2 5I25I2 6I26I2 7I27I2 8I28I2 // парабола ll 1 n m ; 1 1 ll П 2 Определить видимость очерковых линий

17

Винтовой поверхностью называют поверхность, образованную винтовым движением образующей Винтовым движением называют движение, при котором каждая точка А образующей вращается вокруг неподвижной оси i и одновременно перемещается поступательно вдоль этой оси Винтовая поверхность

18

n2n2 n1n1 гелиса А1А1 В1В1 ί1ί1 ί2ί2 Задача Построить каркас и очерк прямого геликоида А2А2 В2В (Прямой винтовой коноид) (n, i)

19

Задача А2А2 А1А1 В1В1 В2В2 i2i2 i1i1 Построить очерк однополостного гиперболоида вращения Однополостный гиперболоид вращения

Линейчатые поверхности в архитектуре [ править ]

Поверхности с двойной линией – это вдохновение для изогнутых гиперболоидных структур, которые можно построить с помощью решетки из прямых элементов, а именно:

• Гиперболические параболоиды, например, двускатные крыши .
• Гиперболоиды одного листа, такие как градирни и некоторые урны для мусора .

В ракетном двигателе RM-81 Agena использовались прямые охлаждающие каналы , расположенные на линейчатой ​​поверхности и образующие горловину сопловой секции.

• Охлаждение гиперболические башни на электростанции Didcot , Великобритания; поверхность может быть двояко линейчатой.

• Дважды управляемая водонапорная башня с тороидальным резервуаром, работы Яна Богуславского в Цехануве , Польша.

• Гиперболоидная башня порта Кобе , Кобе , Япония, с двойной линией.

• Гиперболоидная водонапорная башня 1896 года в Нижнем Новгороде .

• Сетчатая оболочка из Шуховской башни в Москве, чьи участки вдвойне правила.

• Винтовая лестница с линейками внутри Торраццо Кремоны .

• Деревенская церковь в Село, Словения: и крыша (коническая), и стена (цилиндрическая) являются линейчатыми поверхностями.

• Гиперболический параболоид крыша железнодорожной станции Варшава Ochota в Варшаве , Польша.

• Линейчатая коническую шляпу .

• Гофрированная черепица, разделенная параллельными линиями в одном направлении и синусоидальными в перпендикулярном направлении.

• Устройство плоской поверхности путем разметки ( стяжки ) бетона.

4.1 Классификация поверхностей и их изображение на чертеже

• 
  для построения проекций точек на поверхности цилиндра и конуса используются
  их образующие и параллели;
• 
  положение точки на поверхности вращения определяется при помощи окружности,
  проходящей через эту точку на поверхности вращения. Для построения проекций
  точки поверхности вращения используются параллели;
• 
  для построения проекций точек на поверхности многогранника используются
  любые вспомогательные прямые линии, принадлежащие граням.

Пример
	Построить линию пересечения поверхности треугольной пирамиды с фронтально проецирующей плоскостью Ф. На рис. 65 представлены две проекции треугольной, пирамиды. Фронтально проецирующая плоскость Ф″ пересекает грани пирамиды по прямым, которые определяются по точкам пересечения ребер пирамиды с секущей плоскостью Ф″. Фронтальные проекции точек пересечения ребер с плоскостью находятся сразу, а горизонтальные проекции точек пересечения определяются в проекционной связи по линиям связи. Линией пересечения является замкнутая ломаная линия, часть которой, принадлежащая грани SAC, является невидимой.
Рис.65. Построение линии пересечения пирамиды

• 
  для нахождения линии пересечения любой другой поверхности плоскостью
  надо использовать вспомогательные секущие плоскости. Точки искомой линии
  определяются в пересечении линий, по которым вспомогательные секущие
  плоскости пересекают поверхность и плоскость;

  вспомогательную секущую плоскость следует выбирать так, чтобы её
  линия пересечения с поверхностью проецировалась на плоскости проекций
  в виде прямой или окружности;

• 
  для построения точек пересечения прямой с поверхностью необходимо через
  прямую провести вспомогательную секущую плоскость и найти линию пересечения
  этой плоскости с поверхностью; точки пересечения заданной прямой и построенной
  линией на поверхности и будут искомые точки пересечения прямой с поверхностью.

  Пример
  	Определить точки пересечения прямой АВ с поверхностью вращения. На рис. 66 представлены горизонтальная и фронтальная проекции поверхности вращения и прямой АВ. Проведем через прямую АВ фронтально проецирующую плоскость Ф и построим линию пересечения этой плоскости с поверхностью вращения. След плоскости Ф″ пройдет через фронтальную проекцию прямой A″ B″. Для построения линии пересечения плоскостиФ″ и поверхности вращения проведем параллели поверхности вращения и построим горизонтальные проекции точек пересечения параллелей с плоскостью Ф″. Полученные точки соединим кривой линией и на пересечении горизонтальных проекций построенной линии и прямой найдем точки Mи Nпересечения прямой АВ с поверхностью вращения.
  Рис.66. Пересечение прямой с поверхностью

  ЗАДАЧИ
  Задача 50	Лежит ли точка А на поверхности усеченного конуса?
  Задача 51	Построить проекции линии пересечения плоскостей Ф1,Ф2,Ф3 с поверхностью цилиндра, конуса, сферы.
  Задача 52	Найти точки пересечения прямойАВ с поверхностью вращения.
  Задача 53	Найти точки пересечения прямой АВ и прямой CD с поверхностью прямого кругового цилиндра. Построить три проекции линии, лежащей на поверхности цилиндра. Определить видимость проекций линии.
  Задача 54	Найти точки пересечения прямой АВ и прямой CD с поверхностью прямого кругового конуса и построить три проекции линии, лежащей на поверхности конуса. Определить видимость проекций линии.
  Задача 55	Найти точки пересечения прямой АВ и прямой CD с поверхностью сферы и построить три проекции линии, лежащей на поверхности сферы. Определить видимость проекций линии.

Неразвертывающиеся или косые поверхности

Их появление часто вызвано передвижением прямолинейной создающей вдоль пути, развитой тремя направляющими. Они непосредственно формируют закон перемещения и бывают прямыми или кривыми. Есть индивидуальные ситуации, когда траектория движения устанавливается:

• 2-мя направляющими и произвольной плоскостью;
• направляющими свободной формы и плоскостью параллелизма (к примеру, область проекции).

Направляющая поверхность замещает одну из линий пути. С ней двигающаяся прямая составляет постоянный угол.

Варианты подобных объектов: цилиндроид, коноид, гиперболический параболоид. Их главные характеристики приведены в таблице.

Вид	Определители (вместе с плоскостью параллелизма)	Характеристика	Некоторые сфере использования
Цилиндроид	2 кривые направляющие	Изобразить образующие на комплексных чертежах можно так: 1.Параллельно параллелизму провести серию плоскостей. 2.Определить точки, в которых кривые направляющие цилиндроида пересечены с плоскостями. Если за параллелизм принять одну из плоскостей уровня, что делает легче построение, то линии будут подходить линиям уровня.	Проектирование больших, крупного диаметра, воздушных каналов
Коноид	2 направляющие: · откровенная	1. Особенный случай цилиндроида. 2. Прямой коноид имеет направляющую прямолинейную, расположеную под прямым углом к области параллелизма.	Гидротехническое строительство, на конструкторском уровне опор мостов
Параболоид гиперболический (синонимично понятию косой плоскости)	2 пересекающиеся прямые направляющие	1. Изображается как несколько прямых по закону: создающая должна пересекать направляющие и проходить параллельно установленной области параллелизма. 2. При пересечении некоторыми плоскостями в сечениях получаются гиперболы и параболы.	При разрабатывании конструкций гидротехнических строений, дорог, откосов, шлюзов, каналов, крыльев ветряков

Линейчатые поверхности собой представляют математические абстракции, посредством которых можно получить представление о характеристиках предметов.

Их моделирование, математическое, геометрическое описание дают возможность проектировать разные тела и конструкции в автомобилестроении, архитектуре. Современные программы компьютерного проектирования, к примеру КОМПАС 3D, упрощают и автоматизируют процесс моделирования подобных объектов.

Если вы нашли погрешность, пожалуйста, выдилите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

7.12. Пересечение конуса плоскостью

Рассмотрим пять возможных вариантов расположения плоскости относительно поверхности прямого кругового конуса. Пусть плоскость сечения перпендикулярна плоскости проекций π₂ (Рисунок 7.16).

Рисунок 7.16

1. Если плоскость проходит через вершину (1) – в сечении две образующие и прямая пересечения с плоскостью основания.
2. Если плоскость перпендикулярна оси вращения конуса (2) – в сечении окружность.
3. Если плоскость не параллельна ни одной образующей (пересекает все образующие (3)) – в сечении эллипс.
4. Если плоскость параллельна одной образующей конуса – в сечении парабола (на примере – плоскость сечения (4) параллельна крайней образующей конуса).
5. Если плоскость параллельна двум образующим (пересекает обе полости конической поверхности (5)) – в сечении гипербола (рисунок 7.17).

Рисунок 7.17. Плоскость сечения параллельна двум образующим конуса

Ниже, на моделях, представлены варианты положения секущей плоскости относительно поверхности конуса, при которых получаются сечения в виде эллипса, параболы и гиперболы.

Рисунок 7.18 – Сечение конической поверхности плоскостью (а — эллипс, б — парабола, в — гипербола)

Рассмотрим пример построения сечения конической поверхности плоскостью.

Рисунок 7.19 – Построение пересечения конической поверхности плоскостью

Пусть задана секущая проецирующая плоскость σ⊥π₂ (Рисунок 7.19). Если продлить коническую поверхность и проекцию плоскости, то видно, что плоскость пересекает вторую ветвь конической поверхности, следовательно, в сечении получится гипербола.

1. Построим характерные точки. Это точки, лежащие на крайних образующих и на окружности основания конуса (1, 2, 3). Их проекции строятся по линиям проекционной связи.
2. Для построения промежуточных точек, воспользуемся методом вспомогательных секущих плоскостей. Введём плоскость α⊥π₂ и перпендикулярно оси вращения, что даст в сечении окружность радиусом r. Строим эту окружность на π₁. Плоскость α пересекает и заданную плоскость сечения по прямой, проекции которой на π₁ и π₃ совпадают с линиями проекционной связи.
3. На пересечении этих двух сечений на плоскости проекций π₁ строим точки 4, 5. Профильные проекции этих точек строим по линии проекционной связи, откладывая расстояние от оси вращения конуса, равное Δ.
4. Аналогично строим точки 6, 7. Плавно соединим построенные точки, образуя гиперболу.
5. Обведём то, что осталось от конуса после такого среза с определением видимости. В нашем примере все проекции построенной кривой будут видимы.

На анимации ниже представлена последовательность построения пересечения конической поверхности плоскостью.

Линейчатые поверхности. Принадлежность линии и точки к поверхности

Линейчатой называется поверхность, образующей которой является прямая линия.

В общем случае линейчатая поверхность однозначно определяется тремя направляющими линиями .

Задать поверхность на чертеже – значит указать условия, позволяющие построить каждую точку этойповерхности. Для задания поверхности достаточно иметь проекции направляющей линии и указать, как строится образующая прямая, проходящая через любую точку направляющей. Однако, для придания наглядности изображения, вычерчивают очерк, линии видимости и строят точки на поверхности.

Коническая поверхность образуется прямой линией, проходящей через некоторую неподвижную точку и последовательно через все точки некоторой кривой направляющей линии. Если направляющей линией является окружность, то поверхность называется наклонным или эллиптическим конусом.

На рис. 3.10 представлены: направляющая окружность – m; неподвижная точка – S; прямолинейная образующая — l . Это первая часть определителя – геометрическая. Образующая движется по направляющей, оставаясь неподвижной в точке S. Описание закона движения является алгоритмической частью определителя. При этих условиях поверхность на чертеже считается заданной. Для придания наглядности, на рис. 3.11 построены очертания поверхности, линии видимости и промежуточная точка, принадлежащая поверхности.

Построение точек, принадлежащих поверхности, осуществляется следующим образом. Пусть задана фронтальная проекция точки А (А»). На фронтальной плоскости она изображена как невидимая. Для построения ее горизонтальной проекции через точку задаем линию, принадлежащую поверхности. Этой линией будет окружность, так как линия задана параллельно основанию, а основанием является окружность. Центр окружности лежит на осевой линии поверхности. Проводим линию связи из центра окружности на горизонтальную плоскость до пересечения с горизонтальной осевой поверхности. Строим окружность, которой принадлежит точка А.. По линии связи отмечаем ее местоположение с учетом видимости для горизонтальной плоскости, где точка является видимой. Аналогичные построения выполняются для наклонного (эллиптического) цилиндра.

Тема 4

Позиционные задачи

Все задачи начертательной геометрии условно могут быть разделены на метрические и позиционные. К метрическим задачам относятся задачи на измерение линейных и угловых величин. Решение этих задач будет рассмотрено ниже.

К позиционным задачам относятся задачи на принадлежность и взаимное пересечение геометрических фигур. По существу решение позиционных задач сводится к нахождению точек одновременно принадлежащих двум или более фигурам. Задачи на определение принадлежности одной геометрической фигуры к другой частично уже рассмотрены:

o принадлежность точки к прямой (рис. 1.23) .

o принадлежность линии к поверхности. Рис. 3.9 ;

o принадлежность точки к поверхности. Рис. 3.11

Задачи на построение линий пересечения геометрических фигур условно можно разделить на три группы:

o пересечение плоскости с поверхностью;

o пересечение прямой линии с плоскостью и с поверхностью.

o взаимное пересечение поверхностей.

Решение всех типов позиционных задач на пересечение подчиняются общему алгоритму. На рис. 4.1 представлена поверхность полусферы и усеченного конуса. Для построения точек, одновременно принадлежащих этим поверхностям, воспользуемся общим алгоритмом.

1. Вводится вспомогательная поверхность, в частном случае — плоскость. Эта вспомогательная поверхность назначается таким образом, чтобы она пересекла обе фигуры по простым для построения линиям — по прямым или по окружностям.

2. Строятся линии пересечения вспомогательной поверхности с каждой из заданных фигур.

3. Отмечаются точки взаимного пересечения построенных линий. Эти точки принадлежат обеим фигурам, следовательно, являются элементом пересечения фигур.

4. Соединяют точки в определенной последовательности и определяют видимость линии пересечения и фигур друг относительно друга.

Находить точки для построения линии взаимного пересечения фигур надо в определенной последовательности.

1. В первую очередь отмечают точки на контурных образующих или на ребрах, если поверхностигранные.

2. Находят экстремальные точки: наивысшую; наинизшую; самую левую; самую правую; самую ближнюю и самую дальнюю.

3. Отмечают точки на линиях среза (принадлежащие основаниям).

4. Если построенных точек недостаточно для выявления формы линии взаимного пересечения, строят ряд промежуточных (случайных) точек.

голоса

Рейтинг статьи

Ссылки [ править ]

1. ^ Г. Фарин: Кривые и поверхности для компьютерного геометрического проектирования , Academic Press, 1990, ISBN  0-12-249051-7 , стр. 250
2. ^ В. Вундерлич: Über Эйн abwickelbares Möbiusband , Ежемесячнике für Mathematik 66, 1962, С. 276-289.
3. ^ В. Кюнель: Дифференциальная геометрия, стр. 58–60
4. ^ Г. Фарин: с. 380
5. ^ Э. Хартманн: Геометрия и алгоритмы для САПР , конспект лекции, TU Дармштадт, стр. 113
6. ^ Тан, Бо, Валлнер, Поттманн: Интерактивный дизайн складывающихся поверхностей , ACM Trans. График. (МЕСЯЦ 2015), DOI: 10.1145 / 2832906
7. ^ Снежана Lawrence : развертывающиеся поверхности: их история и применение , в Nexus Network Journal 13 (3) · Октябрь 2011, DOI : 10.1007 / s00004-011-0087-г

• Ду Карму, Манфредо П.: Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей , Прентис-Холл; 1 издание, 1976 ISBN 978-0132125895 
• Barth, Wolf P .; Хулек, Клаус; Питерс, Крис AM; Ван де Вен, Антониус (2004), Компактные сложные поверхности , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 4 , Springer-Verlag, Berlin, doi : 10.1007 / 978-3-642-57739-0 , ISBN 978-3-540-00832-3, MR  2030225
• Бовиль, Арно (1996), Комплексные алгебраические поверхности , Студенческие тексты Лондонского математического общества, 34 (2-е изд.), Cambridge University Press , DOI : 10.1017 / CBO9780511623936 , ISBN 978-0-521-49510-3, Руководство по ремонту  1406314
• Edge, WL (1931), Теория линейчатых поверхностей , Cambridge University Press – через Интернет-архив. Обзор: Бюллетень Американского математического общества 37 (1931), 791-793, DOI : 10.1090 / S0002-9904-1931-05248-4
• Fuchs, D .; Табачников, Серж (2007), «16.5 Не бывает неплоских трехлинейчатых поверхностей», Математический омнибус: тридцать лекций по классической математике , Американское математическое общество, с. 228, ISBN 9780821843161.
• Ли, Ta-chʻien (ред.) (2011), Проблемы и решения в математике, 3103 (2-е изд.), World Scientific Publishing Company.
• Гильберт, Дэвид ; Кон-Фоссен, Стефан (1952), Геометрия и воображение (2-е изд.), Нью-Йорк: Челси, ISBN 978-0-8284-1087-8.
• Исковских В.А. (2001) , “Линейчатая поверхность” , Энциклопедия математики , EMS Press
• Sharp, John (2008), D-Forms: удивительные новые трехмерные формы из плоских изогнутых форм , Tarquin, ISBN 978-1-899618-87-3. Обзор: блестки, Carlo H. (2009), Журнал математики и искусство 3: 229-230, DOI : 10,1080 / 17513470903332913